Question

已知數列{an}中，a1=

1

2

，且當x=

1

2

時，函數f(x)=

1

2

anx2-an+1x取得極值．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）數列{bn}滿足b1=2，bn+1-2bn=

1

an+1

，求{bn}的通項及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意 f′(

1

2

)=0得 an+1=

1

2

an，再由 a1=

1

2

≠0能求出 an=

1

2n

．
（2）b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹兩邊同除以2ⁿ⁺¹得：

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1，從而{

bn

2n

}為等差數列，求出b_n，根據數列的特點可知利用錯位相消的方法進行求和即可．

解答：解：（1）f'（x）=a_nx-a_n+1
由題意f′(

1

2

)=0得an+1=

1

2

an
又∵a1=

1

2

≠0所以數列{a_n}是公比為

1

2

的等比數列∴an=

1

2n

（2）由（1）知an+1=

1

2n+1

∴b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹兩邊同除以2ⁿ⁺¹
得：

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1∴

bn

2n

=

b1

21

+(n-1)=n，∴b_n=n•2ⁿ
S_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ
2S_n=2²+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
兩式相減得-S_n=2+2•2²+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數列的遞推式和導數的運算，解題時要錯位相消法的合理運用，屬于中檔題．