Question

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，側面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC上一點．

(1)點E是PC中點時，求證：BE⊥平面PCD；

(2)在(1)的條件下，求二面角C－BD－E的大小；

(3)當E是PC中點時，在PB上是否存在一點F，使AF∥平面BDE.若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：取PD中點G，連EG、AG，則∵△PAD是正三角形，∴AG⊥PD，又易知 　　CD⊥平面PAD，∴AG⊥CD， 　　∴AG⊥平面PCD. 　　又∵EG∥CD∥AB，且EG=， 　　∴BE∥AG，從而BE⊥平面PCD. 　　(2) 　　解：取AD中點H，連結PH、HC， 　　取HC中點N，過N作MN⊥BD于點M，連ME. 　　由條件易得：PH⊥平面ABCD，又N、E分別是HC和PC的中點，∴EN⊥平面ABCD，則由三垂線定理得：EM⊥BD，故∠EMN就是所求二面角的平面角.設AB=AD=a，則 　　， 　　， 　　∴在Rt△EMN中， 　　，∴所求二面角的大小為 　　(3)存在PB中點F，使AF∥平面BDE. 　　證明：連結AC交BD于點Q，取PE中點R，連結FR， 　　∵AQ：QC=AB：CD=1：2，RE：EC=1：2， 　　∴AR∥QE，∴AR∥平面BDE，又RF∥BE， 　　∴RF∥平面BDE．∴平面AEF∥平面BDE