Question

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ＜

π

2

），則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是（　　）

Answer 1

分析：先根據條件得到四邊形ABCD的面積S=sinθ，由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，即可得到PA，進而表示出四棱錐P-ABCD的體積，整理后再借助于三角函數的取值范圍即可解題．

解答：解：由已知，四邊形ABCD的面積S=sinθ，
由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，
∴PA=

1

2-2cosθ

，
∴V=

1

3

•

sinθ

2-2cosθ

∴V=

2

6

•

sin2θ 1-cosθ

=

2

6

•

1+cosθ

所以，當cosθ=0，即θ=

π

2

時，四棱錐V-ABCD的體積V的最小值是

2

6

當cosθ=0，即θ=0時，四棱錐V-ABCD的體積V的最小值是

1

3

∵0＜θ≤

π

2

∴P-ABCD的體積V的取值范圍是[

2

6

，

1

3

）
故選A

點評：本題主要考查棱錐的體積計算，熟練掌握余弦函數的圖象和性質是解答的關鍵．