Question

選修4-4（坐標系與參數方程）
求直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數）被曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截的弦長．

Answer 1

分析：利用直角坐標與極坐標間的關系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)的直角坐標方程，消去參數t得到直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數）的普通方程，最后利用直線和圓的相交關系求解．

解答：解：曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，即ρ²=ρcosθ-ρsinθ，化為直角坐標方程為x²+y²=x-y，
即為（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

，
直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數）的方程是：3x+4y+1=0
曲線C表示以（

1

2

，-

1

2

）為圓心，以r=

2

2

為半徑的圓．
圓心到直線l距離d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

9+16

=

1

10

．
所截的弦長|AB|=2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

．

點評：本題考查了極坐標、直角坐標方程、及參數方程的互化，圓中弦長計算．圓中弦長公式為．|AB|=2

r2-d2

．