Question

若在曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx； 
④|x|+1=

4-y2

對應的曲線中存在“自公切線”的有

②③

．

Answer 1

分析：①x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是y=-

1

4

，故②有自公切線．
③此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數有自公切線．
④結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．

解答：解：①x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 (x+ 1 2 )2- 1 4

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是y=-

1

4

，故②有自公切線．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數有自公切線．
④由于|x|+1=

4-y2

，即 x²+2|x|+y²-3=0，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
故答案為②③．

點評：正確理解新定義“自公切線”，正確畫出函數的圖象、數形結合的思想方法是解題的關鍵．