Question

在平面直角坐標系xoy中，曲線C：

1

4

x2+x+y2-2y=-1，按伸縮變換?：

x′=x+2 y′=y-1

得曲線C₁；在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂是圓心在極軸上，且經過極點的圓，已知射線θ=

π

3

與曲線C₂交于點D(1，

π

3

)．
（I）求曲線C₁，C₂的方程；
（II）若點A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲線C₁上，求

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．

Answer 1

分析：（I）把伸縮變換的式子用x^′，y^′表示x，y，再代入原方程即可求出曲線C₁的方程．把點D的極坐標化為直角坐標代入圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R² ，求得R=1，即可得到曲線C₂的方程．
（2）把A、B兩點的極坐標，代入曲線C₁的極坐標方程可得：：

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1，

ρ22sin2θ

4

+ρ22cos2θ=1，從而求出

1

ρ12

+

1

ρ22

的值的值．

解答：解：（1）曲線C：

1

4

x2+x+y2-2y=-1，按伸縮變換?：

x′=x+2 y′=y-1

得曲線C₁：

1

4

(x′-2)2+x′-2+(y′+1)2-2(y′+1)=-1，即

x2

4

+y2=1．
設圓C₂的半徑R，則圓C₂的方程為：ρ=2Rcosθ（或（x-R）²+y²=R²），將點D(1，

π

3

)，
代入得：1=2Rcos

π

3

，∴R=1
∴圓C₂的方程為：ρ=2cosθ（或（x-1）²+y²=1）…（5分）
（2）曲線C₁的極坐標方程為：

ρ2cos2θ

4

+ρ2sin2θ=1
∵點A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲線C₁上，
將點A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)代入得：

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1，

ρ22sin2θ

4

+ρ22cos2θ=1
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=（

cos2θ

4

+sin2θ ）+（

sin2θ

4

+cos2θ）=

5

4

…（10分）．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，屬于基礎題．