Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．

（I）求橢圓的方程；

(Ⅱ)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)做相互垂直的兩條直線，，分別交橢圓于、（、異于點(diǎn)），問(wèn)直線是否通過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)答案見(jiàn)解析.

【解析】分析：(Ⅰ)由題意計(jì)算可得，在橢圓方程為；

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可知，據(jù)此分類討論直線斜率存在和斜率不存在兩種情況可得直線通過(guò)定點(diǎn).

詳解：（Ⅰ）由題意，得，解得，．

所以橢圓的方程是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

直線的方程設(shè)為．，

由得，，解得或（舍去）.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程設(shè)為，設(shè)，

聯(lián)立消去得，

則有， ，

又，

由得，，

，，

，

即或 ，

若則直線的方程設(shè)為，過(guò)點(diǎn)，不在橢圓內(nèi)，與題意不符.

若，代入到判別式中，判別式恒大于0，則滿足有兩個(gè)交點(diǎn).

則直線的方程設(shè)為，過(guò)點(diǎn)得.

綜上，直線通過(guò)定點(diǎn)．