Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點．

（1）求C的方程；

（2）若直線l與C有且只有一個公共點，l與圓x2+y2＝6交于A，B兩點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2．試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該定值；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k1k2為定值．

【解析】

（1）由題意可得關于a，b，c的方程組，求解a，b，c的值，即可得到橢圓的方程；

（2）①當過點P的直線斜率不存在時，直線的方程為x＝±2，求得，②當過P的直線斜率存在時，設其方程為y＝kx+m，聯立直線方程與橢圓方程，由判別式等于0可得m2＝4k2+2，聯立直線方程與橢圓方程，利用根與系數的關系結合斜率公式可得為定值．

（1）由題意，得，

解得.

∴橢圓C的方程為.

（2）k1k2為定值

理由如下：

①當過點P的直線斜率不存在時，直線的方程為x＝±2；

當x＝2時，，則，

當時，，則.

②當過P的直線斜率存在時，設其方程為，

聯立，得

由題意，得，

聯立，得

則

所以

綜上，為定值．