Question

已知A（

1

4

，0），點B是y軸上的動點，過B作AB的垂線l交x軸于點Q，若

AP

+

AQ

=2

AB

，M（4，0）．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）是否存在定直線x=a，以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長為定值，若存在，求出定直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意設出B，Q的坐標，利用直角三角形中的射影定理得到B，Q坐標的關系，然后結合題目給出的向量等式列式，消掉參數后即可求得點P的軌跡方程；
（2）因為P在（1）中的拋物線上，設出P的坐標，求出PM的中點坐標，利用弦心距公式列式求出以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長，有現場為定值可求得定值a的值．

解答：解：（1）設B（0，t），設Q（m，0），t²=

1

4

|m|，∵m≤0，∴m=-4t²，
∴Q（-4t²，0），設P（x，y），則

AP

=（x-

1

4

，y），

AQ

=（-4t²-

1

4

，0），

2

AB

=（-

1

2

，2t），∵

AP

+

AQ

=2

AB

．
∴（x-

1

4

，y）+（-4t²-

1

4

，0）=（-

1

2

，2t），
∴x=4t²，y=2t，∴y²=x，此即點P的軌跡方程；
（2）存在定直線x=

15

4

，以PM為直徑的圓與直線x=

15

4

的相交弦長為定值

15

．
事實上，由（1）知點P的軌跡方程是y²=x．
設P（y²，y），∵M （4，0），
則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點T（

y2+4

2

，

y

2

），
以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長：
L=2

( y2+4 2 -4)2+( y 2 -0)2-( y2+4 2 -a)2

=2

(a-4)(y2-a)+ y2 4

=2

(a- 15 4 )y2-a(a-4)

若a為常數，則對于任意實數y，L為定值的條件是a-

15

4

=0，即a=

15

4

時，L=

15

．
∴存在定直線x=

15

4

，以PM為直徑的圓與直線x=

15

4

的相交弦長為定值

15

．

點評：本題考查了與直線有關的動點軌跡方程的求法，考查了直線與圓的關系，訓練了利用弦心距求弦長，是有一定難度題目．