Question

若函數(shù)f(x)=ax3+blog2(x+

x2+1

)+2在（-∞，0）上有最小值-5，（a，b為常數(shù)），則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上
（　　）

A．有最大值5

B．有最小值5

C．有最大值3

D．有最大值9

Answer 1

分析：先令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），判斷其奇偶性，再由函數(shù)f(x)=ax3+blog2(x+

x2+1

)+2在（-∞，0）上有最小值-5，得到函數(shù)g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，從而有g(shù)（x）在（0，+∞）上有最大值7，則由f（x）=g（x）+2得到結(jié)論．

解答：解：令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），
其定義域為R，
又g（-x）=a（-x）³+blog₂（-x+

(-x)2+1

）
=-[ax³+blog₂（x+

x2+1

）]=-g（x）
所以g（x）是奇函數(shù)．
由根據(jù)題意：f(x)=ax3+blog2(x+

x2+1

)+2在（-∞，0）上有最小值-5，
所以函數(shù)g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，
由函數(shù)g（x）在（0，+∞）上有最大值7，
所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)而研究性質(zhì)，若看到x與-x這樣的信息，一般與函數(shù)的奇偶性有關(guān)．