Question

（2011•江西模擬）已知函數f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）．若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：將函數化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，把x₀代入化簡后的函數解析式可得到sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，再根據x₀的范圍可求出cos（2x₀+

π

6

）的值，利用cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]，我們就可以得出結論

解答：解：函數f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
因為f（x₀）=

6

5

，所以sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
從而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

．
所以cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．

點評：本題主要考查二倍角的正弦與余弦、輔助角公式、函數y=Asin（ωx+φ）的性質、同角三角函數的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，利用2x₀=（2x₀+

π

6

）-

π

6

是我們思維的亮點所在．