Question

在平面直角坐標系中,有一個以F₁(0,)和F₂(0,)為焦點,離心率為的橢圓.設橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上,C在點P處的切線與x,y軸的交點分別為A,B,且向量.

求:(1)點M的軌跡方程;

(2)||的最小值.

Answer 1

解:(1)橢圓方程可寫為

=1,式中b＜a,

且,得a²=4,b²=1,故曲線C的方程為x²+=1(x＞0,y＞0).

y=(0＜x＜1),y′=.

設P(x₀,y₀),因P在C上,有0＜x₀＜1,y₀=2,y′=,得切線AB的方程為

y=(x-x₀)+y₀.

設A(x,0),B(0,y),由切線方程得x=,y=.

由得M的坐標為(x,y),

由x₀,y₀滿足C的方程,得點M的軌跡方程為=1(x＞1,y＞2).

(2)∵||²=x²+y²且y²==4+,

∴||²=x²-1++5≥4+5=9.

且當x²-1=時,即x=＞1時,上式等號成立.

故||的最小值為3.