Question

如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱的長度都為4，點D是B₁C₁的中點，則異面直線AB₁與A₁D所成的角是

 

（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：利用兩個向量數量積的定義求得

AB1

•

A1D

，由又 

AB1

•

A1D

=（

AB

+

BB1

）•（

AB

+

1

2

BC

）求得

AB1

•

A1D

，進而可得cos＜

AB1

，

A1D

＞=

1

4

，最后求出異面直線AB₁與BC₁所成的角即可．

解答：解：

AB1

•

A1D

=4

2

×2

3

cos＜

AB1

，

A1D

＞=8

6

cos＜

AB1

，

A1D

＞．
又 

AB1

•

A1D

=（

AB

+

BB1

）•（

AB

+

1

2

BC

）=12
故有 8

6

cos＜

AB1

，

A1D

＞=12，
∴cos＜

AB1

，

A1D

＞=

6

4

，
∴＜

AB1

，

A1D

＞=arccos

6

4

，
故異面直線AB₁與A₁D所成的角是 arccos

6

4

，
故答案為：arccos

6

4

．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現了轉化的數學思想，求出cos＜

AB1

，

A1D

＞的值，是解題的關鍵．