Question

在△ABC中，A，B，C為三個內角a，b，c為三條邊，

π

3

＜C＜

π

2

，且

b

a-b

=

sin2C

sinA-sin2C

．
（I）判斷△ABC的形狀；
（II）若|

BA

+

BC

|=2，求

BA

•

BC

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦定理把題設等式中的邊轉化成角的正弦，利用二倍角公式和兩角和公式整理求得sinB=sin2C，進而根據B，C的范圍，求得B+2C=π，判斷出A=C，即三角形為等腰三角形．
（2）利用平面向量的性質，依據已知條件求得a²+c²+2ac•cosB=4，根據a的值求得cosB的值．

解答：解：（1）由

b

a-b

=

sin2C

sinA-sin2C

及正弦定理，得

sinB

sinA-sinB

=

sin2C

sinA-sin2C

，
即sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C，即sinBsinA=sinAsin2C，
因為A是三角形內角，所以sinA≠0，
可得sinB=sin2C，
∵

π

3

＜C＜

π

2

，∴

2π

3

＜2C＜π，∴B+2C=π，
∵A+B+C=π，∴A=C，△ABC為等腰三角形．
（2）∵

π

3

＜C＜

π

2

∴B∈（0，

π

3

），
∴cosB∈（

1

2

，1）
由（1）可知a=c，
由|

BA

+

BC

|=2，得a²+c²+2ac•cosB=4，
∴a²=

2

1+cosB

，
∴

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cosB=a²•cosB=

2cosB

1+cosB

=2-

2

1+cosB

∈（

2

3

，1）（12分）．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用．解題的關鍵是利用正弦定理進行了邊角問題的轉化．