Question

【題目】設f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）．
（1）確定a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+ ，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切線與y軸相交于點（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a= ．

（2）

解：由（1）得f（x）= （x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+ = ，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數，

當2＜x＜3時，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數，

故f（x）在x=2時取得極大值f（2）= +6ln2，在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3

【解析】（1）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函數及其導函數，求出導函數的零點，把函數的定義域分段，判斷導函數在各段內的符號，從而得到原函數的單調區間，根據在各區間內的單調性求出極值點，把極值點的橫坐標代入函數解析式求得函數的極值．