Question

如圖，在某建筑工地上有一個吊臂長DF=24m的吊車，吊車底座FG高1．m．現準備把一個底半徑為3m、高2m的圓柱形工件吊起平放到15m高的橋墩上．（注：當物件與吊臂接觸后，鋼索CD長可通過頂點D處的滑輪自動調節并保持物件始終與吊臂接觸，且與工件的中心在一條垂直線上．）
（Ⅰ）記工件能被吊起的最大高度為y（m），請選取適當的變量將y表示成該變量的函數；
（Ⅱ）判斷工件能否安全被吊到橋墩上，并說明理由．（參考數據：

3

=1.732）

Answer 1

分析：（I）取吊臂的張角∠AFD=θ為變量，由圖可知，y=AB+1.1=AD-BC-CD+1.1=DFsiθ-2-CEtanθ+1.1=24sinθ-3tanθ-0.9=24sinθ-3tanθ-0.9（0＜θ＜

π

2

）
（Ⅱ）利用導數求出y的最大值，與15比較，作出判斷．

解答：解：（I）取吊臂的張角∠AFD=θ為變量，吊車能把工件吊起的最大高度y取決于θ．
由圖可知，y=AB+1.1=AD-BC-CD+1.1=DFsiθ-2-CEtanθ+1.1=24sinθ-3tanθ-0.9（0＜θ＜

π

2

）．…（4分）
（II）吊車不能把圓柱形工件吊起平放到15m高的橋墩上．…（5分）
由（I）知，y′=24cosθ-

3

cos2θ

．
令，y′=0，解得cosθ=

1

2

，∴θ=

π

3

．…（8分）
當θ∈(0，

π

3

)時，

1

2

＜cosθ＜1，此時，y′=24cosθ-

3

cos2θ

=

24cos3θ-3

cos2θ

＞0；
當θ∈(

π

3

，

π

2

)時，0＜cosθ＜

1

2

，此時y′=24cosθ-

3

cos2θ

=

24cos3θ-3

cos2θ

＜0；．
故當，∴θ=

π

3

時，y有最大值，且最大值為y=9

3

-0.9=14.688＜15．…（11分）
∴吊車不能把圓柱形工件吊起平放到15m高的橋墩上．…（12分）

點評：本題主要考查解三角形的實際應用．當涉及最值問題時，可借助函數的單調性來解決．