Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）若是函數的極值點，和是函數的兩個不同零點，且，，求；

（Ⅱ）若對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）運用極值的定義進行分析和推證；（Ⅱ）借助題設條件運用導數的知識分類求解.

試題解析:

（Ⅰ），是函數的極值點，．

是函數的零點，得，由解得，．

，，

令，，得；

令得，所以在上單調遞減；在上單調遞增

故函數至多有兩個零點，其中，，

因為，

，所以，故．

（Ⅱ）令，，則為關于的一次函數且為增函數，

根據題意，對任意，都存在，使得成立，則

在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，令，，，

在上單調遞增，，

①當，即時，，即，在上單調遞增，

，不符合題意．

②當，即時，，

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，

在上單調遞減，存在，使得，符合題意．

若，則，在上一定存在實數，使得，

在上恒成立，即恒成立，在上單調遞減，

存在，使得，符合題意．

綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立