Question

過拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點作傾斜角互補的兩條直線，分別與拋物線交于A、B兩點．
（1）求證：直線AB的斜率為定值；
（2）已知A、B兩點均在拋物線C：y²=2px（y≤0）上，若△MAB的面積的最大值為6，求拋物線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）不妨設   ，由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p．利用斜率公式可求
（2）AB的方程為：，即x+y，由點M到AB的距離d=及==，令p+y₁=t，可表示=，設f（t）=|4p²t-t³|，由偶函數的性質，只需考慮t∈[0，p]，利用導數的知識可得，f（t）在[0，p]單調遞增可求三角形的面積的最大值，進而可求p及拋物線的方程
解答：證明：不妨設  
由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p
∴
（2）AB的方程為：，即x+y
點M到AB的距離d=
==
又由y₁+y₂=-2p，y₁y₂＜0y₁∈[-2p，0]
令p+y₁=t∴t∈[-p，p]
=
設f（t）=|4p²t-t³|為偶函數，故只需考慮t∈[0，p]
f（t）=4p²t-t³，f′（t）=4p²-3t²＞0，f（t）在[0，p]單調遞增
當t=p時，f（t）的最小值為：3p³

∴p=2，拋物線方程為：y²=4x
點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，要求考試具備一定的計算與推理的能力，試題具有一定的綜合性．