Question

在y=2^x，y=log₂x，y=x²，y=（

1

2

）^x這四個函數中，當0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數的個數是

 

．

Answer 1

分析：由題意，根據條件0＜x₁＜x₂＜1時，f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立得出滿足條件的函數的性質，再對照四個函數的性質即可找出滿足條件的函數的個數

解答：解：當0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，說明函數一個遞增的越來越慢的函數或者是一個遞減的越來越快的函數或是一個先遞增得越來越慢，再遞減得越來越快的函數，從圖象上看，是圖象上任意兩點的連線所得線段在兩點之間的曲線的下方考查四個函數y=2^x，y=log₂x，y=x²，y=(

1

2

)x的圖象可得，y=log₂x在（0，1）是遞增得越來越慢型，函數y=(

1

2

)x在（0，1）是遞減得越來越快型，符合任意兩點間的曲線在兩點間線段的上方，而y=2^x，y=x²，這兩個函數都是遞增得越來越快型，圖象上任意兩點間的連線在兩點連線的下方，不符合題意中說明函數一個遞增的越來越慢的函數或者是一個遞減的越來越快的函數或是一個先遞增得越來越慢，再遞減得越來越快的函數，從圖象上看，是圖象上任意兩點的連線所得線段在兩點之間的曲線的下方不符合題意中數中f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

綜上分析知，滿足條件的函數有兩個．
故答案為：2．

點評：本題考查函數單調性的性質，解答的關鍵是理解四個函數的性質及對題設中條件的轉化，本題考查了轉化的思想，本題需要研究函數變化率的變化規律，有一定的難度．