Question

若函數f（x）=在其定義域R上有且只有一個零點，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據函數的單調性畫出函數的圖象，及題意其定義域R上有且只有一個零點，即可求出a的取值范圍．
解答：解：①當x≤0時，f（x）=x+3^x．
∵函數y=x與y=3^x在x≤0時都單調遞增，
∴函數f（x）=x+3^x在區間（-∞，0]上也單調遞增．
又f（-1）=，f（0）=1＞0，所以函數f（x）在（-1，0）內有一個零點，如圖所示．
②當x＞0時，．
∴f^′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f^′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
當0＜x＜2時，f^′（x）＜0；當x＞2時，f^′（x）＞0．
∴函數f（x）在區間（0，2）上單調遞減；在區間（2，+∞）上單調遞增．
∴函數f（x）在x=2時求得極小值，也即在x＞0時的最小值．
∵函數f（x）在其定義域R上有且只有一個零點，且由（1）可知在區間（-1，0）內已經有一個零點了，所以在區間（0，+∞）上沒有零點，
∴必須滿足f（2）＞0，即，解得．
故a的取值范圍是．
故答案為．
點評：利用導數得出函數的單調性并畫出圖象是解題的關鍵．