Question

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，

底面，P為BC邊的中點，SB與

平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．

（1）求證：平面SAP；

（2）求二面角A－SD－P的大小. 

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）因為底面，

所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………….……….1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

易求得，AP=PD=，…………………………………….…..………….2分

又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………….…….3分

因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

所以SA⊥PD,                …………….……………………….…....4分

由于SA∩AP=A     所以平面SAP．…………………………….5分

（2）設Q為AD的中點,連結PQ,       ……………………………….………6分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD……..7分

因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結PR,

由三垂線定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分

容易證明△DRQ∽△DAS,則

因為DQ= 1，SA=1，，所以….……….10分

在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，所以………11分

所以二面角A－SD－P的大小為．……………….…….…….12分

或：過A在平面SAP內作,且垂足為H,在平面SAD內作,且垂足為E,連接HE，平面SAP。平面SPD…………7分

∴HE為AE在平面SPD內的射影，∴由三垂線定理得

從而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分

在中,，在中,，

.        ………………………………….11分

即二面角的大小為……………………………12分

解法二：因為底面，

所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………………………1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

建立空間直角坐標系(如圖)

由已知，P為BC中點.

于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)

                                ……..….2分

（1）易求得,

，..………….…....3分

因為，=0。

所以，

由于AP∩SP=P，所以平面SAP          ………….……………..….…5分

（2）設平面SPD的法向量為

由,得　　解得，

所以                     ……………….…………….……….8分

又因為AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得…9分

所以     ….………………….11分

所求二面角的大小為.  ……………….……….…… 12分