Question

設函數f（x）=-x²+4ax-3a²
（1）當a=1，x∈[-3，3]時，求函數f（x）的取值范圍；
（2）若0＜a＜1，x∈[1-a，1+a]時，恒有-a≤f（x）≤a成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1時，f（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∵f（x）在[-3，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減
∴當x=2時，函數有最大值1，當x=-3時，函數有最小值-24
∴-24≤f（x）≤1
（2）∵0＜a＜1，二次函數的對稱軸x=2a，則2a＜1+a
①當2a＜1-a即0＜a＜時，
f（x）_min=f（1+a）=2a-1，f（x）_max=f（1-a）=-8a²+6a-1
此時，，此時a不存在
②當2a＞1-a，即1＞a時，二次函數的對稱軸x=2a∈[1-a，1+a]
根據二次函數的性質可知，當x=2a時，函數有最大值f（2a）=a²，
f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}
若f（x）_min=f（1-a）=-8a²+6a-1
此時有，解可得
若f（x）_min=f（1+a）=2a-1
此時有，解可得
綜上可得，
分析：（1）當a=1時，根據二次函數的性質可知f（x）在[-3，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減，結合單調性可求函數的最大值與最小值，即可求解
（2）由題意可得，二次函數的對稱軸x=2a，[1-a，1+a]，根據二次函數的性質可知，當x=2a時，函數有最大值f（2a）=a²，f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}，結合1-a，與1+a距離對稱軸的遠近可求函數的最小值，而由-a≤f（x）≤a成立可得，f（x）_max≤a，f（x）_min≥-a，可求
點評：本題主要了一元二次不等式恒成立的問題，解題的關鍵是利用了二次函數圖象的特點數形結合解決問題的．