Question

17、數列{a_n}前n項和為S_n，點（n，S_n）在拋物線y=x²+1上．
（1）試寫出數列{a_n}的前5項；
（2）數列{a_n}是等差數列嗎？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）把點（n，S_n）代入拋物線方程得S_n=n²+1，進而根據a_n=S_n-S_n-1分別求得a₂，a₃，a₄，a₅，根據a₁=S₁求得a₁．
（2）當n≥2時，根據a_n=S_n-S_n-1=2n-1，但當n=1時不符合．故可判定數列{a_n}不是等差數列．

解答：解：（1）依題意可知S_n=n²+1
∴S₁=1²+1=2，S₂=2²+1=5，S₃=3²+1=10，S₄=4²+1=17，S₅=5²+1=26
∴a₁=S₁=2，a₂=S₂-S₁=3，a₃=S₃-S₂=5，a₄=S₄-S₃=7，a₅=S₅-S₄=9
（2）不是
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+1-（n-1）²+1=2n-1
當n=1時，a₁=2不符合上式，
故數列{a_n}不是等差數列

點評：本題主要考查了等差關系的確定．考查了學生綜合分析問題的能力．