【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,直線y=4與y軸的交點為P,與拋物線C的交點為Q,且|QF|=2|PQ|.
(1)求p的值;
(2)已知點T(t,-2)為C上一點,M,N是C上異于點T的兩點,且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為,證明直線MN恒過定點,并求出定點的坐標.
【答案】(1)p=4 (2)證明見解析,定點坐標:(-1,-1)
【解析】
(1)設Q(x0,4),由拋物線定義,根據|QF|=x0+,解得x0=
,將點Q
代入拋物線方程,即可求解;
(2)設直線MN的方程為x=my+n,代入拋物線的方程,代入y1+y2,y1y2,結合斜率公式,求得n=m-1,代入直線方程,即可求解.
(1)設Q(x0,4),由拋物線定義,|QF|=x0+,
又|QF|=2|PQ|,即2x0=x0+,解得x0=
,
將點Q代入拋物線方程,解得p=4.
(2)由(1)知C的方程為y2=8x,所以點T坐標為,
設直線MN的方程為x=my+n,點M,N
,
由得y2-8my-8n=0,所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,
所以kMT+kNT=+
=
+
==
=-
,
解得n=m-1,所以直線MN方程為x+1=m(y+1),
此時直線恒過點(-1,-1).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】將編號為1、2、3、4的四個小球隨機的放入編號為1、2、3、4的四個紙箱中,每個紙箱有且只有一個小球,稱此為一輪“放球”.設一輪“放球”后編號為的紙箱放入的小球編號為
,定義吻合度誤差為
(1) 寫出吻合度誤差的可能值集合;
(2) 假設等可能地為1,2,3,4的各種排列,求吻合度誤差
的分布列;
(3)某人連續進行了四輪“放球”,若都滿足,試按(Ⅱ)中的結果,計算出現這種現象的概率(假定各輪“放球”相互獨立);
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,曲線C由部分橢圓C1:+
=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點為A,B,其中C1所在橢圓的離心率為
.
(1)求a,b的值;
(2)過點B的直線l與C1,C2分別交于點P,Q(P,Q,A,B中任意兩點均不重合),若AP⊥AQ,求直線l
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知項數為項的有窮數列
,若同時滿足以下三個條件:
,
為正整數
;
或1,其中
,3,
,
;
任取數列
中的兩項
,
,剩下的
項中一定存在兩項
,
,滿足
,則稱數列
為
數列.
若數列
是首項為1,公差為1,項數為6項的等差數列,判斷數列
是否是
數列,并說明理由.
當
時,設
數列
中1出現
次,2出現
次,3出現
次,其中
,
,
.
求證:,
,
;
當
時,求
數列
中項數
的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,居民小區要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和
構成的面積為
的十字形地域,計劃在正方形
上建一座花壇,造價為
元/
;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪上花崗巖地坪,造價為
元/
;再在四個空角(圖中四個三角形,如
)上鋪草坪,造價為
元/
(1)設總造價為(單位:元),
長為
(單位:
),試求出
關于
的函數關系式,并求出定義域;
(2)當長
取何值時,總造價
最小,并求出這個最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,圓C的參數方程為:為參數
,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,射線l的極坐標方程為
,
.
將圓C的參數方程化為極坐標方程;
設點A的直角坐標為
,射線l與圓C交于點
不同于點
,求
面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的焦距為
,短半軸的長為2,過點P(-2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求弦AB的長.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線,給出下列三個結論:
①存在使得
是直角三角形;
②存在使得
是等邊三角形;
③三條直線上存在四點使得四面體
為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體,其中,所有正確結論的個數是( )
A.0B.1C.2D.3
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