Question

求分別滿足下列條件的函數f（x）的解析式：
（Ⅰ）f(x)+2f(

1

x

)=x；
（Ⅱ）f(x)-xf(-x)=

1

x

．

Answer 1

分析：（I）根據已知中f(x)+2f(

1

x

)=x，用

1

x

替換原式中的x，利用加減消元法，消去f（

1

x

）并整理后要，得函數f（x）的解析式：
（II）根據已知f(x)-xf(-x)=

1

x

，用-x替換原式中的x，利用加減消元法，消去f（-x）并整理后要，得函數f（x）的解析式：

解答：解：（I）∵f(x)+2f(

1

x

)=x…①；
∴f(

1

x

)+2f(x)=

1

x

…②
②×2-①得：3f（x）=

2

x

-x
∴f（x）=

1

3

（

2

x

-x）=

2-x2

3x

（II）∵f(x)-xf(-x)=

1

x

…①；
∴f(-x)+xf(x)=-

1

x

…②
②×x+①得：（x²+1）f（x）=

1

x

-1
f（x）=

1

x2+1

（

1

x

-1）=

1-x

x+x3

點評：本題考查的知識點是分段函數的解析式求法，熟練掌握方程組的適用范圍及解答步驟是解答的關鍵．