Question

設函數f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，其中m＞0．
（Ⅰ）求當m=1時，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；
（Ⅱ）已知函數f（x）有3個不同的零點，分別為0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，再求出f′（1）即可；
（Ⅱ）題意等價于方程-

1

3

x²+x+m²-1=0有兩個相異的實根x₁、x₂，故x₁+x₂=3且△=1+

4

3

（m²-1）＞0，再分類討論，即可確定m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當m=1時，f′（x）=-x²+2x，故f′（1）=1．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．
（Ⅱ）由題意f（x）=x（-

1

3

x²+x+m²-1）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂）
∴方程-

1

3

x²+x+m²-1=0有兩個相異的實根x₁、x₂，故x₁+x₂=3且△=1+

4

3

（m²-1）＞0，所以m＞

1

2

∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，故x₂＞

3

2

＞1
1°若x₁≤1＜x₂，則f（1）=-

1

3

（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不合題意；
2°若1＜x₁＜x₂，對任意的x∈[x₁，x₂]，x-x₁≥0，x-x₂≤0，則f（x）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂）≥0
而f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0
∴對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件為f（1）=m²-

1

3

＜0
∴-

3

3

＜m＜

3

3

綜上，

1

2

＜m＜

3

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．