Question

6．已知方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+n}$-$\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}-n}$=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（-1，3）．

Answer 1

分析 由已知可得c=2，討論焦點在x軸上，利用4=（m²+n）+（3m²-n），解得m²=1，又（m²+n）（3m²-n）＞0，從而可求n的取值范圍，若焦點在y軸上，可得無解．

解答 解：∵雙曲線兩焦點間的距離為4，∴c=2，
當焦點在x軸上時，
可得：4=（m²+n）+（3m²-n），解得：m²=1，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+n}$-$\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}-n}$=1表示雙曲線，
∴（m²+n）（3m²-n）＞0，可得：（n+1）（3-n）＞0，
解得：-1＜n＜3，即n的取值范圍是：（-1，3）．
當焦點在y軸上時，
可得：-4=（m²+n）+（3m²-n），解得：m²=-1，無解．
綜上可得m的取值范圍是（-1，3）．
故答案為：（-1，3）．

點評 本題主要考查了雙曲線方程的應用，注意討論焦點位置，考查了不等式的解法，屬于基礎題．