Question

10．在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b²=ac，且a²+bc=ac+c²．
（Ⅰ）求角A的大小．
（Ⅱ）求$\frac{bsinB}{c}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），即可得解A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）利用正弦定理可得$\frac{bsinB}{c}=\frac{sinB•sinB}{sinC}$，由已知可得sin²B=sinAsinC，化簡即可計算得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）∵b²=ac，且a²+bc=ac+c²．
又∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴解得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…（5分）
（Ⅱ）∵$\frac{bsinB}{c}=\frac{sinB•sinB}{sinC}$，
又∵b²=ac，有sin²B=sinAsinC，
∴則$\frac{bsinB}{c}=sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$．（10分）

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，特殊角的三角函數值在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．