Question

設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列的前n項之和為S_n，又設T_n=

Sn

Sn+1

，n=1，2，…．求

lim

n→n

Tn．

Answer 1

分析：當公比q滿足0＜q＜1時，Sn=

1-qn

1-q

，Tn=1．當公比q=1時，S_n=n，Tn=

Sn

Sn+1

=

n

n+1

．

lim

n→∞

Tn=1．當公比q＞1時，Sn=

qn-1

q-1

，Tn=

qn-1

qn+1-1

，

lim

n→∞

Tn=

1

q

．綜合以上討論，可以求得

lim

n→∞

Tn的值．

解答：解：當公比q滿足0＜q＜1時，
Sn=1+q+q2+…+qn-1=

1-qn

1-q

，于是Tn=

Sn

Sn+1

=

1-qn

1-qn+1

=

1-0

1-0

=1．
當公比q=1時，S_n=1+1+…+1=n，于是Tn=

Sn

Sn+1

=

n

n+1

．
因此

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

n

n+1

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n

=1
當公比q＞1時，Sn=1+q+q2+…+qn-1=

qn-1

q-1

于是Tn=

Sn

Sn+1

=

qn-1

qn+1-1

．
因此

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

qn-1

qn+1-1

=

1

q

lim

n→∞

1-( 1 q )n

1-( 1 q )n+1

=

1

q

．
綜合以上討論得到

lim

n→∞

Tn=

1(當0＜q≤1時) 1 q (當q＞1時)

點評：本題考查等比數列的極限，解題時要分情況進行討論，考慮問題要全面，避免丟解．