Question

設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列的前n項之和為S_n，又設T_n=

Sn

Sn+1

，n=1，2，…．求

lim

n→n

Tn．

Answer 1

當公比q滿足0＜q＜1時，
Sn=1+q+q2+qn-1=

1-qn

1-q

，于是Tn=

Sn

Sn+1

=

1-qn

1-qn+1

=

1-0

1-0

=1．
當公比q=1時，S_n=1+1++1=n，于是Tn=

Sn

Sn+1

=

n

n+1

．
因此

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

n

n+1

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n

=1
當公比q＞1時，Sn=1+q+q2++qn-1=

qn-1

q-1

于是Tn=

Sn

Sn+1

=

qn-1

qn+1-1

．
因此

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

qn-1

qn+1-1

=

1

q

lim

n→∞

1-( 1 q )n

1-( 1 q )n+1

=

1

q

．
綜合以上討論得到

lim

n→∞

Tn=

1 (當0＜q≤1時) 1 q  (當q＞1時)