Question

（本小題13分）已知定點及橢圓，過點的動直線與該橢圓相交于兩點.
（1）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；
（2）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）
（2）

（1）設直線，將代入橢圓的方程，消去整理得，
設，，
則
因為線段的中點的橫坐標為，解得
所以直線的方程為
（2）假設在軸上存在點，使得位常數，
①當直線與軸不垂直時，由（1）知，
所以=
，因為是與無關的常數，從而有，
此時，
②當直線與軸垂直時,此時結論成立，
綜上可知，在軸上存在定點，使為實數。