Question

（本小題滿分12分）已知直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為3.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知圓,直線.試證明：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與圓恒相交，并求直線被圓所截得弦長(zhǎng)的取值范圍.
（Ⅲ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線交軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，求 的值；   

Answer 1

（1）（2）（3）

（Ⅰ）由得，所以直線過(guò)定點(diǎn)（1，0），即.  
設(shè)橢圓的方程為,
則,解得，所以橢圓的方程為.  …………3分
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),所以，     
從而圓心到直線的距離

所以直線與圓恒相交.                            ……………………5分
又直線被圓截得的弦長(zhǎng)
，       …………6分
由于,所以,則,
即直線被圓截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是.  …………………7分
（3）設(shè)


                             …………………………9分
又由 
        同理 ………………………………11分
     ………………………12分