Question

已知函數g（x）=x³-3tx²-3t²+t（t＞0）
（1）求函數g（x）的單調區間；
（2）曲線y=g（x）在點M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）處的切線都與y軸垂直，若方程g（x）=0在區間[a，b]上有解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）分別解出g′（x）=3x²-6tx＞0（t＞0），g′（x）=3x²-6tx＜0，即可得出單調區間．
（2）由曲線y=g（x）在點M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）處的切線都與y軸垂直，可得g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，因此a=0，b=2t．
由于方程g（x）=0在區間[0，2t]上有解，由（I）可知g（x）單調遞減，于是g（0）g（2t）≤0，解出即可．

解答： 解：（1）由g′（x）=3x²-6tx＞0（t＞0）解得x＜0或x＞2t，由g′（x）=3x²-6tx＜0，解得0＜x＜2t．
∴函數g（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（2t，+∞）；單調遞減區間是（0，2t）．
（2）由曲線y=g（x）在點M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）處的切線都與y軸垂直，
∴g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，∴a=0，b=2t．
∵方程g（x）=0在區間[0，2t]上有解，由（I）可知g（x）單調遞減，
∴g（0）g（2t）≤0，即 t²（3t-1）（4t²+3t-1）≤0，
解得t∈[

1

4

，

1

3

]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、切線方程，方程的解轉化為函數圖象的交點、函數的零點，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．