已知R,函數
e
.
(1)若函數沒有零點,求實數
的取值范圍;
(2)若函數存在極大值,并記為
,求
的表達式;
(3)當時,求證:
.
(1);(2)
;(3)詳見試題解析.
【解析】
試題分析:(1)令得
,∴
.再利用
求實數
的取值范圍;(2)先解
,得可能的極值點
或
,再分
討論得函數
極大值
的表達式;(3)當
時,
,要證
即證
,亦即證
,構造函數
,利用導數證明不等式.
試題解析:(1)令得
,∴
. 1分
∵函數沒有零點,∴
,∴
. 3分
(2),令
,得
或
. 4分
當時,則
,此時隨
變化,
的變化情況如下表:
當時,
取得極大值
; 6分
當時,
在
上為增函數,∴
無極大值. 7分
當時,則
,此時隨
變化,
的變化情況如下表:
當時,
取得極大值
,∴
9分
(3)證明:當時,
10分
要證 即證
,即證
11分
令,則
. 12分
∴當時,
為增函數;當
時
為減函數,
時
取最小值,
,∴
.
∴,∴
.
14分
考點:1.函數的零點;2.函數的導數與極值;3.不等式的證明.
科目:高中數學 來源:廣東省佛岡一中2008屆高三數學期初摸底測試卷(理) 題型:044
已知R,函數f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e為自然對數的底數).
(Ⅰ)當a=2時,求函數f(x)的單調遞增區間;
(Ⅱ)若函數f(x)在(-1,1)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)函數f(x)是否為R上的單調函數,若是,求出a的取值范圍;若不是,請說明理由.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年山東省高三第一次月考理科數學試卷 題型:解答題
已知R,函數
.(
R,e為自然對數的底數)
(Ⅰ)當時,求函數
的單調遞減區間;
(Ⅱ)若函數內單調遞減,求a的取值范圍;
(Ⅲ)函數是否為R上的單調函數,若是,求出a的取值范圍;若不是,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)
已知R,函數
.(
R,e為自然對數的底數)
(Ⅰ)當時,求函數
的單調遞減區間;
(Ⅱ)若函數內單調遞減,求實數
的取值范圍;
(Ⅲ)函數是否為R上的單調函數,若是,求出實數
的取值范圍;若不是,請說明理由.
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科目:高中數學 來源:浙江省杭州市西湖高級中學2011-2012學年高三10月月考試題數學理 題型:解答題
本小題滿分15分)已知R,函數.(
R,e為自然對數的底數)
(1)當a=-2時,求函數f(x)的單調遞減區間;
(2)若函數f(x)在(-1,1)內單調遞減,求a的取值范圍;
(3)函數f(x)是否為R上的單調函數,若是,求出a的取值范圍;若不是,請說明理由.
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