Question

【題目】設函數的定義域為，若存在閉區間，使得函數滿足：①在上是單調函數；②在上的值域是，則稱區間是函數的“和諧區間”．下列結論錯誤的是（ ）

A. 函數存在“和諧區間”

B. 函數不存在“和諧區間”

C. 函數存在“和諧區間”

D. 函數 （且）不存在“和諧區間”

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：利用函數單調性的判別方法，逐個選項檢驗函數是否存在單調區間。若函數在上的值域是，則方程應該有兩個根。

詳解： 對于選項A，存在區間[0,2]， 在上是單調增函數；②在上的值域是，故A正確；

對于選項B，假設存在區間，函數在區間上為增函數，

由在上的值域是，可得，

解得 ，這與矛盾，故假設錯誤，所以選項B正確；

對于選項C，由函數，可得

。

取區間，在此區間上，

所以函數在區間上為增函數。

因為 成立，

所以函數在區間上的值域為.

所以選項C正確。

對于選項D，不妨設,則函數在定義域內為單調增函數。

若存在“和諧區間”，則由得，

所以是方程的兩個根，

即是方程的兩個根。

因為該方程有兩個正根，所以存在“和諧區間”。所以選項D錯。

所以選D。