Question

已知定點，過點F且與直線相切的動圓圓心為點M，記點M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若點A的坐標為，與曲線E相交于B，C兩點，直線AB，AC分別交直線于點S，T.試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

 

Answer 1

（1）.（2）以線段為直徑的圓恒過兩個定點.

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線的定義可知，點的軌跡是以點為焦點, 為準線的拋物線.

可得曲線的方程為.

（2）設點的坐標分別為，依題意得，.

由消去得，

應用韋達定理.

直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，

得到點的坐標為.點的坐標為.

得到.

設線段的中點坐標為，

而

.

故以線段為直徑的圓的方程為.

令，得，解得或.

確定得到以線段為直徑的圓恒過兩個定點.

（1）由題意, 點到點的距離等于它到直線的距離,

故點的軌跡是以點為焦點, 為準線的拋物線.

∴曲線的方程為. 4分

（2）設點的坐標分別為，依題意得，.

由消去得，

∴. 6分

直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，

∴點的坐標為.

同理可得點的坐標為.

∴

.

∴. 8分

設線段的中點坐標為，

則

.

∴以線段為直徑的圓的方程為.

展開得. 11分

令，得，解得或.

∴以線段為直徑的圓恒過兩個定點. 13分

考點：拋物線的定義及其標準方程，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關系，圓的方程.