Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，直線⊥x軸與點C， ，,動點到直線的距離是它到點D的距離的2倍。

（I）求點的軌跡方程

（II）設點K為點的軌跡與x軸正半軸的交點,直線交點的軌跡于兩點（與點K不重合）,且滿足.動點滿足,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

解： （I）依題意知,點的軌跡是以點為焦點、直線為其相應準線,離心率為的橢圓。設橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,

又，，∴點在x軸上,且,則3

解之得：,.  

∴坐標原點為橢圓的對稱中心.

∴動點M的軌跡方程為：.  

（II）設,設直線的方程為,代入得

.     

,.

  

,,

,

.

解得: (舍).    

設,由知,.

直線的斜率為. 

當時,;

當時,,

時取“=”）或時取“=”），

     

綜上所述