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已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2).

(1)求（a-2）(b-2)的值；

（2）求線段AB中點的軌跡方程;

（3）求△AOB面積的最小值.

解析：（1）由題意知，直線l的方程為=1,即bx+ay-ab=0.曲線C的方程配方得（x-1）²+(y-1)²=1,∴直線l與圓C相切的充要條件是1=，整理得ab-2a-2b+2=0,即（a-2）(b-2)=2.

(2)設AB的中點為M（x,y）,則由中點坐標公式得a=2x,b=2y,代入（1）的結論：（2x-2）(2y-2)=2,即（x-1）(y-1)=(其中x＞1,y＞1),這便是中點M的軌跡方程.

(3)S_△AOB=ab,由（1）知ab=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3.當且僅當a=b=2+時上式取等號，∴S_△AOB的最小值為2+3.

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點（a＞2，b＞2），O為原點．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l與x軸、y軸的正半軸交于兩點A、B；O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求△AOB面積的最小值．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求證：若曲線C與直線l相切，則有（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x，y的正半軸與A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求線段AB中點的軌跡方程；
（2）求ab的最小值．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點，O為原點，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程．

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