Question

【題目】某企業接到生產3000臺某產品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比，比例系數為K（K為正整數）．
（1）設生產A部件的人數為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產需要的時間；
（2）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數K的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設寫出完成A，B，C三種部件生產需要的時間分別為T1（x），T2（x），T3（x）

∴ ， ，

其中x，kx，200﹣（1+k）x均為1到200之間的正整數

（2）

解：完成訂單任務的時間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域為

∴T1（x），T2（x）為減函數，T3（x）為增函數，T2（x）= T1（x）

①當k=2時，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }

∵T1（x），T3（x）為增函數，∴當 時，f（x）取得最小值，此時x=

∵ ， ， ，f（44）＜f（45）

∴x=44時，完成訂單任務的時間最短，時間最短為

②當k≥3時，T2（x）＜T1（x），

記 ，為增函數，φ（x）=max{T1（x），T（x）}

f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }

∵T1（x）為減函數，T（x）為增函數，∴當 時，φ（x）取得最小值，此時x=

∵ ， ，

∴完成訂單任務的時間大于

③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }

∵T2（x）為減函數，T3（x）為增函數，∴當 時，φ（x）取得最小值，此時x=

類似①的討論，此時完成訂單任務的時間為 ，大于

綜上所述，當k=2時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產A，B，C三種部件的人數分別為44，88，68．

【解析】（1）設完成A，B，C三種部件生產需要的時間分別為T1（x），T2（x），T3（x），則可得 ， ， ；（2）完成訂單任務的時間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域為 ，可得T1（x），T2（x）為減函數，T3（x）為增函數，T2（x）= T1（x），分類討論：①當k=2時，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務的最短時間；②當k≥3時，T2（x）＜T1（x）， 記 ，為增函數，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務的最短時間；③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務的最短時間，從而問題得解．