Question

曲線f（x）=ax⁵+lnx存在垂直y軸的切線則實數a的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，0）
分析：由f（x）=ax⁵+lnx有垂直與y軸的切線，知f（x）函數在某一個點處的導數等于零．由f（x）的定義域為x＞0，f′（x）=5ax+，知原題等于價于5ax²+1=0有解時求a的取值范圍．由此能求出a的取值范圍．
解答：∵f（x）=ax⁵+lnx有垂直與y軸的切線，
∴f（x）函數在某一個點處的導數等于零．
由函數的表達式可知f（x）的定義域為x＞0
∵f′（x）=5ax+，根據上面的推斷，
即方程5ax+=0有解．
即等于價于5ax²+1=0有解時求a的取值范圍．
∴△=-20a＞0，解得a＜0
因此，a的取值范圍是（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．
點評：本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程的應用，運用到了求導和一元二次方程有解問題兩個知識點，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．