Question

曲線f（x）=ax⁵+lnx存在垂直y軸的切線則實數(shù)a的取值范圍是

（-∞，0）

．

Answer 1

分析：由f（x）=ax⁵+lnx有垂直與y軸的切線，知f（x）函數(shù)在某一個點處的導(dǎo)數(shù)等于零．由f（x）的定義域為x＞0，f′（x）=5ax⁴+

1

x

，知原題等于價于5ax²+1=0有解時求a的取值范圍．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=ax⁵+lnx有垂直與y軸的切線，
∴f（x）函數(shù)在某一個點處的導(dǎo)數(shù)等于零．
由函數(shù)的表達(dá)式可知f（x）的定義域為x＞0
∵f′（x）=5ax⁴+

1

x

，根據(jù)上面的推斷，
即方程5ax⁴+

1

x

=0有解．即等于價于5ax⁵+1=0有解時求a的取值范圍．
結(jié)合x為正數(shù)，解得a＜0
因此，a的取值范圍是（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程的應(yīng)用，運(yùn)用到了求導(dǎo)和一元二次方程有解問題兩個知識點，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．