【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形，側棱
底面
垂直于
和
，
是棱
的中點.
(Ⅰ)求證：
平面
；
(Ⅱ)求二面角
的正弦值；
(Ⅲ)在線段
上是否存在一點
使得
與平面
所成角的正弦值為
若存在，請求出
的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)
(Ⅲ)答案見解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空間直角坐標系，由直線的方向向量和平面的法向量的關系即可證得線面平行；
(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論進一步求得兩個半平面的法向量，首先確定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；
(Ⅲ)設出點的坐標，由線面角夾角的正弦值公式計算可確定滿足題意的點N是否存在.
(Ⅰ)以A點為坐標原點，
方向分別為
軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：
，
，
故
，設平面SCD的法向量為
，則：
，
據此可得平面SCD的一個法向量為
，
且
，據此可得
，
平面
,則
平面.
(Ⅱ)設平面
的法向量為
，則：
，
據此可得平面的一個法向量
,
二面角
的平面角大小為
，易知：
.
(Ⅲ)假設存在滿足題意的點N，且：
，
設點N的坐標為
，據此可得：
，
由對應坐標相等可得
，
故
，由于平面SAB的一個法向量
，
由題意可得：
，
解得：
，
據此可得存在滿足題意的點N，且
的值為
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，點
滿足
，記點的軌跡為
.斜率為
的直線
過點
，且與軌跡相交于
兩點.
（1）求軌跡的方程；
（2）求斜率的取值范圍；
（3）在
軸上是否存在定點
，使得無論直線繞點怎樣轉動，總有
成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，直線
與
軸的交點為
，與
的交點為
，且
．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設過定點
的直線
與拋物線交于
，
兩點，連接
并延長交拋物線的準線于點
，當直線
恰與拋物線相切時，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在邊長為2的菱形
中，
，
于點
，將
沿
折起到
的位置，使
，如圖2.
（1）求證：
平面
；
（2）在線段
上是否存在點
，使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝4cos ωx·sin
＋a(ω>0)圖象上最高點的縱坐標為2，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函數f(x)在[0，π]上的單調遞減區間.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a∈R，命題p：“x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的左、右頂點分別為
，
，且左、右焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，點
在橢圓上，過點的直線交橢圓
于
軸上方的點
，交直線
于點
.直線
與橢圓的另一交點為
，直線
與直線
交于點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
，試求直線的方程；
（3）如果
，試求
的取值范圍.
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