Question

【題目】已知橢圓E：（）的焦距為，直線：與x軸的交點為G，過點且不與x軸重合的直線交E于點A，B.當垂直x軸時，的面積為.

（1）求E的方程；

（2）若，垂足為C，直線交x軸于點D，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；

【解析】

（1）由題意可得，即，由三角形的面積公式可得，由在橢圓上，代入橢圓方程，解方程可得，，進而得到橢圓方程；

（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程，設，，，運用韋達定理，求得直線的方程，可令，求得，再與作差，計算可得證明．

解：（1）由焦距為，可得，即，即，①

由題意可得，，

可得，由在橢圓上，可得，②

由①②解得，，

則橢圓的方程為；

（2）證明：過點且不與軸重合的直線的方程為，

聯立橢圓方程，可得，

設，，，

則，，

可得直線的方程為，

令，可得，

由，

，可得，

則．