Question

如圖，用一塊形狀為半橢圓x2+

y2

4

=1（y≥0）的鐵皮截取一個以短軸BC為底的等腰梯形ABCD，記所得等腰梯形的面積為S，則

1

S

的最小值是

2 3

9

．

Answer 1

分析：設D點坐標為（x，y）（x＞0），由點D在橢圓上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

（|AD|+|BC|）|y|=

1

2

（2x+2）•y=（x+1）•y，將y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用導數求此函數的最值．

解答：解：設D點坐標為（x，y）（x＞0），由點D在橢圓上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

（|AD|+|BC|）|y|=

1

2

（2x+2）•y=（x+1）•y     （2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）′=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）′=0，得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴x=

1

2

，
又當0＜x＜

1

2

時，（S²）′＞0；當

1

2

＜x＜1時，（S²）′＜0，
∴在區間（0，1）上，S²有唯一的極大值點x=

1

2

，
∴當x=

1

2

時，S²有最大值為

27

4

；即當x=

1

2

時，S有最大值為

3 3

2

，
∴

1

S

的最小值為

1

3 3 2

=

2 3

9

故答案為：

2 3

9

點評：本題考查橢圓方程的應用，解題的關鍵是根據橢圓的方程消元，將面積表示成x的函數，再利用導數研究此函數的最值，此題運算量很大，屬中檔題．