Question

如圖，用一塊形狀為半橢圓x2+

y2

4

=1（y≥0）的鐵皮截取一個以短軸BC為底的等腰梯形ABCD，問：怎樣截才能使所得等腰梯形ABCD的面積最大？

Answer 1

分析：設D點坐標為（x，y）（x＞0），由點D在橢圓上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

(|AD|+|BC|)|y|=

1

2

(2x+2)•y=(x+1)•y，將y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用導數求此函數的最值

解答：解：設D點坐標為（x，y）（x＞0），由點D在橢圓上知x2+

y2

4

=1（y≥0），
得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

(|AD|+|BC|)|y|=

1

2

(2x+2)•y=(x+1)•y（2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）
=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）'=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）'=0，
得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴x=

1

2

，（6分）
又當0＜x＜

1

2

時，（S²）'＞0；當

1

2

＜x＜1時，（S²）'＜0，
∴在區間（0，1）上，S²有唯一的極大值點x=

1

2

，（8分）
∴當x=

1

2

時，S²有最大值為

27

4

；
即當x=

1

2

時，S有最大值為

3 3

2

．       （10分）
因此只需分別作OC，OB的中垂線與上半橢圓交于D，A，這樣的等腰梯形的面積最大．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的應用，解題的關鍵是根據橢圓的方程消元，將面積表示成x的函數，再利用導數研究此函數的最值，此題運算量很大，解題時極易因運算出錯，做題時要嚴謹認真．