Question

若不等式|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

對(duì)滿足x+y+z=1的一切正實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)柯西不等式進(jìn)行配湊，可得不等式的右邊小于或等于3

2

，從而得到|a-1|≥3

2

，再解關(guān)于a的不等式，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：根據(jù)柯西不等式，有

( 3x+1 + 3y+1 + 3z+1 )2=(1• 3x+1 +1• 3y+1 +1• 3z+1 )2 ≤(12+12+12)[( 3x+1 )2+( 3y+1 )2+( 3z+1 )2]=3•[3(x+y+z)+3]=3×6=18

∴

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

≤3

2

．
又∵|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

恒成立，
∴|a-1|≥3

2

，得a-1≥3

2

或a-1≤-3

2

，
即a≥3

2

+1或a≤1-3

2

，
所以a的取值范圍是(-∞，1-3

2

]∪[1+3

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于x的不等式恒成立，求參數(shù)a的取值范圍，著重考查了不等式恒成立問題的理解和運(yùn)用柯西不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．