Question

若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x、y、z恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²求出x+2y+2z的最大值，再解關于a的絕對值不等式即可．

解答：解：由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當且僅當

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

時，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實數的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案為：a≥4或a≤-2．

點評：本題考查柯西不等式的應用，考查運算能力和運用所學知識解決問題的能力．