Question

已知函數f（x）=ln

x

2

-f′（1）x+1，x∈（0，+∞）．
（1）求f′（2）；
（2）求f（x）的單調區間和極值；
（3）設a≥1，函數g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，令x=1，x=2，即可得到；
（2）求出導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，進而得到極值；
（3）分別求出f（x），g（x）的值域，再由題意可得它們存在包含關系，解不等式即可得到范圍．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

-f′(1)，
∴f'（1）=1-f'（1），f′(1)=

1

2

，
則f′(2)=

1

2

-

1

2

=0；
（2）由（1）知f(x)=ln

x

2

-

1

2

x+1，導數 f′(x)=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

．
∴當x＞2時，f'（x）＜0，當0＜x＜2時，f'（x）＞0．
∴f（x）的單調遞增區間為（0，2），
單調遞減區間為（2，+∞），極大值為f（2）=0；
（3）∵g'（x）=2x-3a（a≥1），
∴當x∈（0，1）時，g'（x）=2x-3a＜0，g（x）單調遞減，
此時g（x）值域為（2a²-3a-4，2a²-5）．
由（1）得，當x∈（0，2）時，f（x）值域為（-∞，0），
由于對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
即有（2a²-3a-4，2a²-5）⊆（-∞，0），
即2a²-5≤0，所以1≤a≤

10

2

．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值，考查恒成立和存在性問題，注意轉化為求函數的最值或值域問題，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．