Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)具有性質(zhì)：若、是雙曲線(xiàn)左、右頂點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線(xiàn)，的斜率分別為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值.

（1）試對(duì)橢圓，類(lèi)比寫(xiě)出類(lèi)似的性質(zhì)（不改變?cè)�有命題的字母次序），并加以證明.

（2）若橢圓的左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線(xiàn)為，在（1）的條件下，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的垂心到軸的距離.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) .

【解析】

（1）根據(jù)類(lèi)比對(duì)應(yīng)得橢圓性質(zhì)，再根據(jù)斜率公式證結(jié)論，（2）先求得橢圓方程，再根據(jù)基本不等式確定最值取法，即得直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線(xiàn)交點(diǎn)得垂心坐標(biāo)，即得結(jié)果.

（1）若、是橢圓左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線(xiàn)，的斜率分別為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值，即；

證明如下：設(shè)

（2）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線(xiàn)為，

所以，橢圓

由（1）知，所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”

此時(shí)直線(xiàn)：

與橢圓聯(lián)立得

可設(shè)垂心，

由，故

的垂心到軸的距離為.