Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱長都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點，且FD⊥AC₁.

 

 

   （1）試求的值；

   （2）求二面角F－AC₁－C的大小；

   （3）求點C₁到平面AFC的距離.

 

Answer 1

【答案】

本小題考查空間線線、線面關(guān)系及二面角的求法.

解（解法一）（1）連AF，F(xiàn)C₁，因為三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱長都等于2，又F為BB₁中點，∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，

∴AF＝FC₁.  又在△AFC₁中，F(xiàn)D⊥AC₁，

所以D為AC₁的中點，即.（4分）

   （2）取AC的中點E，連接BE及DE，

 

則得DE與FB平行且相等，所以四邊形DEBF是平行四邊形，所以FD與BE平行.

因為三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，

所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC₁，∴FD⊥平面ACC₁，

∴平面AFC₁⊥平面ACC₁    所以二面角F－AC₁－C的大小為.　　　　（9分）

   （3）運用等積法求解：AC＝2，AF＝CF＝，可求，

，

，得.　　　（12分）

（解法二）取BC的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得

（1）設(shè)，則,

得，

 

  

即

解得，即.　　（4分）

   （2）設(shè)平面FAC₁的一個法向量為

，由得，

又由，得，

仿上可得平面ACC₁的一個法向量為.　　　（6分）

.故二面角F－AC₁－C的大小為.　（8分）

   （3）設(shè)平面AFC的一個法向量為，

由得， 由得.

解得

所以C₁到平面AFC的距離為

【解析】略